© Igor Kleiner | igkleiner@gmail.comשיעור אנכי בעברית — משפט הגבול המרכזי | גרסה מורחבת 1:1 לפי המחברת המקורית
שיעור

משפט הגבול המרכזי
CLT

איך סכומים וממוצעים הופכים לנורמליים — גם כשהנתונים עצמם לא נורמליים

📐 נוסחאות🍫 שוקולדים🎲 קוביות📝 הערות איגור
📝 הערת איגור: באתר הזה לא מחקתי את שלבי השיעור. כל עמוד מהמקור מופיע בסדר המקורי, ומתחתיו יש הסבר נקי, מסודר וקצת יותר ידידותי.
עמוד 1 מתוך 13

משפט הגבול המרכזי — הרעיון

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 1
💡 הסבר נקי לתלמידים

מתחילים מסדרה של משתנים מקריים:

\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)

ההנחה המרכזית בשיעור: המשתנים הם בלתי תלויים, בעלי אותה התפלגות, ויש להם תוחלת ושונות סופיות.

ממוצע:
\(\overline X=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\)
סכום:
\(S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n\)
📝 הערת איגור: כל הקסם של CLT הוא שאפילו אם ההתפלגות המקורית לא נורמלית, הסכום והממוצע מתחילים להתנהג “כמעט נורמלית” כש־\(n\) גדול.
עמוד 2 מתוך 13

חזרה: התפלגות נורמלית

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 2
💡 הסבר נקי לתלמידים

התפלגות נורמלית נקראת גם פעמון גאוס. היא סימטרית סביב התוחלת, ורוב הערכים קרובים למרכז.

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)

כאשר \(\mu\) היא התוחלת, ו־\(\sigma\) היא סטיית התקן.

\(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)

כלל 68%: בערך 68% מהערכים נמצאים בין \(\mu-\sigma\) לבין \(\mu+\sigma\).

עמוד 3 מתוך 13

כללי 95% ו־99% סביב הממוצע

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 3
💡 הסבר נקי לתלמידים

בהתפלגות נורמלית משתמשים הרבה בשלושה כללי אצבע:

  • בערך 68% בתוך סטיית תקן אחת.
  • בערך 95% בתוך שתי סטיות תקן.
  • בערך 99% בתוך שלוש סטיות תקן. בגרסה המדויקת יותר: כ־99.7%.
לדוגמה: אם \(\mu=70\) ק״ג ו־\(\sigma=5\) ק״ג, אז שלוש סטיות תקן נותנות בערך את התחום \([55,85]\).
📝 הערת איגור: לא צריך לזכור את הנוסחה של הצפיפות בעל פה. בשאלות חישוביות משתמשים בעיקר ב־Z ובטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
עמוד 4 מתוך 13

למה הנורמלית מופיעה בכל מקום?

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 4
💡 הסבר נקי לתלמידים

הצפיפות הנורמלית מוגדרת לכל מספר ממשי:

\(-\infty<x<\infty\)

למשל, גובה של אנשים יכול להתרכז סביב 170 ס״מ, אבל עקרונית המודל הנורמלי מתאר רצף רחב של ערכים.

ההתפלגות הנורמלית עוזרת לחשב הסתברויות, להבין רעשי מדידה ולבצע בדיקות סטטיסטיות.

🔔 רעשים במדידה
➕ סכומים וממוצעים
🧱 הרבה גורמים קטנים
עמוד 5 מתוך 13

ניסוח משפט הגבול המרכזי

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 5
💡 הסבר נקי לתלמידים

נניח ש־\(X_1,\ldots,X_n\) הם בלתי תלויים, בעלי אותה התפלגות, עם תוחלת \(\mu\) וסטיית תקן \(\sigma\).

אז כאשר \(n\) גדול, מתקבלים הקירובים:

\(\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)\)
\(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)\)
📝 הערת איגור: אם השאלה מדברת על ממוצע — משתמשים בנוסחת \(\overline X\). אם היא מדברת על סכום — משתמשים בנוסחת \(\sum X_i\).
עמוד 6 מתוך 13

תנאים לשימוש בקירוב

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 6
💡 הסבר נקי לתלמידים

כדי להשתמש ב־CLT בשיעור הזה, נבדוק:

  • המשתנים אינם חייבים להיות נורמליים.
  • גם אם ההתפלגות המקורית אינה נורמלית, אפשר לקרב את התפלגות הסכום או הממוצע לנורמלית.
  • כלל אצבע שימושי: \(n\ge 30\).
⚠️ אם \(n\) קטן מאוד או אם ההתפלגות קיצונית מאוד, צריך להיזהר יותר. אבל בקורס בסיסי, \(n\ge 30\) הוא סימן טוב.
עמוד 7 מתוך 13

תרגיל 1: סכום משקלי שוקולדים

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 7
💡 הסבר נקי לתלמידים

נתון: משקל של שוקולד אחד מתפלג אחיד בין 95 ל־105 גרם:

\(X\sim Uniform(95,105)\)

קונים קופסה של \(n=36\) שוקולדים.

השאלה: מה ההסתברות שמשקל כל הקופסה יהיה גדול מ־3630 גרם?

\(P(X_1+X_2+\cdots+X_{36}>3630)\)

לפני הפתרון נזהה: זו שאלה על סכום, לא על ממוצע.

עמוד 8 מתוך 13

פתרון תרגיל 1 — סטנדרטיזציה של סכום

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 8
💡 הסבר נקי לתלמידים

עבור התפלגות אחידה \(Uniform(a,b)\):

\(\mu=\frac{a+b}{2},\qquad \sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12}\)

לכן כאן:

\(\mu=100,\qquad \sigma^2=\frac{(105-95)^2}{12}\approx 8.33,\qquad \sigma\approx 2.89\)

לפי CLT:

\(\frac{\sum_{i=1}^{36}X_i-36\cdot100}{2.89\sqrt{36}}\approx N(0,1)\)

ולכן:

\(P\left(\sum X_i>3630\right)=P\left(Z>\frac{3630-36\cdot100}{2.89\sqrt{36}}\right)\approx P(Z>1.73)\)
עמוד 9 מתוך 13

תרגיל 1 — שימוש בטבלת Z

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 9
💡 הסבר נקי לתלמידים

בטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית מקבלים:

\(P(Z\le 1.73)\approx 0.958\)

אבל אנחנו צריכים את הזנב הימני:

\(P(Z>1.73)=1-P(Z\le 1.73)\approx 1-0.958=0.042\)
✅ תשובה: ההסתברות היא בערך 0.042, כלומר כ־4.2%.
עמוד 10 מתוך 13

תרגיל 2: ממוצע משקל השוקולדים

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 10
💡 הסבר נקי לתלמידים

עכשיו השאלה משתנה:

מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של 36 שוקולדים יהיה גדול מ־100.5 גרם?

הנתונים נשארים:

\(n=36,\qquad \mu=100,\qquad \sigma\approx2.89\)

כאן מדובר על ממוצע, ולכן משתמשים בנוסחה:

\(Z=\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\)
\(P(\overline X>100.5)\)
עמוד 11 מתוך 13

פתרון תרגיל 2 — ממוצע

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 11
💡 הסבר נקי לתלמידים

נציב בנוסחה:

\(P\left(\frac{\overline X-100}{2.89/\sqrt{36}}>\frac{100.5-100}{2.89/\sqrt{36}}\right)\)
\(\frac{100.5-100}{2.89/\sqrt{36}}\approx1.04\)

לכן:

\(P(\overline X>100.5)\approx P(Z>1.04)\)

מהטבלה:

\(P(Z\le1.04)\approx0.85\)
\(P(Z>1.04)=1-0.85\approx0.15\)
✅ תשובה: ההסתברות היא בערך 0.15, כלומר כ־15%.
עמוד 12 מתוך 13

תרגיל 3: סכום הטלות קובייה

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 12
💡 הסבר נקי לתלמידים

מטילים קובייה הוגנת 60 פעמים.

השאלה: מה ההסתברות שסכום התוצאות יהיה גדול מ־230?

נסמן:

\(X_i\sim Uniform\{1,2,3,4,5,6\}\)

לקובייה הוגנת:

\(\mu=E(X)=\frac{1+6}{2}=3.5\)
\(\sigma^2=Var(X)=\frac{6^2-1}{12}=\frac{35}{12}\approx2.917\)
\(\sigma=\sqrt{\frac{35}{12}}\)

זו שוב שאלה על סכום:

\(P\left(\sum_{i=1}^{60}X_i>230\right)\)
עמוד 13 מתוך 13

פתרון תרגיל 3 — קובייה

📷 המקור מהשיעור
עמוד מקור 13
💡 הסבר נקי לתלמידים

נשתמש בסטנדרטיזציה של סכום:

\(\frac{\sum_{i=1}^{60}X_i-60\cdot3.5}{\sqrt{60}\sqrt{2.917}}\approx N(0,1)\)

נציב את הגבול 230:

\(\frac{230-60\cdot3.5}{\sqrt{60}\sqrt{2.917}}\approx1.51\)

לכן:

\(P\left(\sum X_i>230\right)\approx P(Z>1.51)\)
\(P(Z>1.51)=1-P(Z\le1.51)\approx0.065\)
✅ תשובה: ההסתברות היא בערך 0.065, כלומר כ־6.5%.

🧭 מפת פתרון מהירה

  1. בודקים אם השאלה היא על סכום או על ממוצע.
  2. מוצאים \(\mu\) ו־\(\sigma\) של משתנה אחד.
  3. בודקים ש־\(n\ge30\) או שיש הצדקה לקירוב.
  4. מחשבים ערך \(Z\).
  5. משתמשים בטבלת Z ולוקחים זנב שמאלי או ימני לפי השאלה.